∫

Matematika SMA - OSN

Persiapan Olimpiade Matematika tingkat SMA

∫ Kalkulus: Limit, Turunan & Integral

Kalkulus adalah inti OSN Matematika SMA. Kuasai teknik turunan (aturan rantai, produk, quotient) dan integral (substitusi, parsial, trigonometri). Aplikasi: ekstrem fungsi, panjang busur, luas daerah, volume benda putar.

📌 Rumus Penting

d/dx[xⁿ] = nxⁿ⁻¹ | d/dx[sin x]=cos x | d/dx[cos x]=-sin x

d/dx[eˣ]=eˣ | d/dx[ln x]=1/x | d/dx[aˣ]=aˣ ln a

Aturan rantai: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

Aturan produk: d/dx[uv] = u'v + uv'

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C | ∫eˣ dx = eˣ+C | ∫1/x dx = ln|x|+C

∫sin x dx = -cos x+C | ∫cos x dx = sin x+C

Teorema Nilai Rata-rata (MVT): f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a)

Luas daerah: L = ∫ₐᵇ |f(x)-g(x)| dx

💡 Contoh

d/dx[x³-2x²+sin x] = 3x²-4x+cos x

Ekstrem fungsi: f'(x)=0 → cari nilai kritis; f''(x)<0 → maksimum, f''(x)>0 → minimum

∫₀¹(2x+1)dx = [x²+x]₀¹ = (1+1)-0 = 2

Volume benda putar mengelilingi sumbu x: V = π∫ₐᵇ[f(x)]² dx

📐 Trigonometri & Geometri Analitik

Identitas trigonometri fundamental, rumus sudut majemuk, dan persamaan trigonometri. Geometri analitik membahas persamaan garis, lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.

📌 Rumus Penting

Identitas Pythagoras: sin²x+cos²x=1, 1+tan²x=sec²x, 1+cot²x=csc²x

Sudut ganda: sin2A=2sinAcosA, cos2A=cos²A-sin²A=2cos²A-1=1-2sin²A

sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB | cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB

Rumus produk-ke-jumlah: 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)

Aturan sinus: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R=jari-jari lingkaran luar)

Aturan kosinus: c²=a²+b²-2ab cosC

Lingkaran: (x-h)²+(y-k)²=r²

Elips: x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)

💡 Contoh

sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=1/√3=√3/3

sin45°=cos45°=√2/2, tan45°=1

sin60°=√3/2, cos60°=1/2, tan60°=√3

sin75° = sin(45°+30°) = (√6+√2)/4

Garis: y=2x+3 memiliki gradien 2, memotong sumbu y di (0,3)

🎲 Kombinatorika, Peluang & Statistika

Kombinatorika lanjut: prinsip inklusi-eksklusi, binomial Newton, permutasi dengan pengulangan, kombinasi multiset. Peluang: variabel acak, distribusi binomial, distribusi normal.

📌 Rumus Penting

C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] | P(n,r) = n!/(n-r)!

Binomial Newton: (a+b)ⁿ = Σ_{k=0}^n C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ

Prinsip inklusi-eksklusi: |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

Distribusi binomial: P(X=k) = C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ

E(X) = np | Var(X) = np(1-p) (binomial)

Koefisien variasi: CV = σ/μ × 100%

💡 Contoh

C(10,3)=120 | P(10,3)=720

(x+1)⁵: koefisien x³ = C(5,2)=10

Dalam 8 pelemparan koin, P(X≥6 sisi H) = P(6)+P(7)+P(8)

Jumlah cara menyusun MATEMATIKA: 10!/(2!2!2!) = 453.600

Soal pigeonhole: 13 orang → pasti ada 2 lahir bulan yang sama

🔢 Teori Bilangan Lanjut

Kongruensi modular, Teorema Fermat kecil, Teorema Euler, fungsi-fungsi aritmetika, dan representasi bilangan. Topik ini sering muncul di babak final OSN dan IMO.

📌 Rumus Penting

Teorema Fermat kecil: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p), GCD(a,p)=1, p prima

Teorema Euler: aᵠ⁽ⁿ⁾ ≡ 1 (mod n), GCD(a,n)=1

Fungsi Euler φ(n): banyak bilangan 1..n yang relatif prima dengan n

φ(pᵏ) = pᵏ - pᵏ⁻¹ | φ(mn) = φ(m)φ(n) jika GCD(m,n)=1

Teorema Wilson: (p-1)! ≡ -1 (mod p) untuk p prima

Legendre symbol dan kuadrat sisa (untuk topik lanjut)

💡 Contoh

2¹⁰ mod 7: 2⁶≡1(mod7), 2¹⁰=2⁶×2⁴≡1×16≡2(mod7)

φ(12) = φ(4)×φ(3) = 2×2 = 4 (bilangan: 1,5,7,11)

GCD(252,198): 252=1×198+54, 198=3×54+36, 54=1×36+18, 36=2×18 → GCD=18

Jumlah faktor n=2³×3²×5: τ(n)=(3+1)(2+1)(1+1)=24

Jumlah semua faktor n=12: σ(12)=(1+2+4)(1+3)=7×4=28

🌐 Matriks, Vektor & Geometri Ruang

Matriks dan determinan untuk memecahkan sistem persamaan dan transformasi geometri. Vektor dalam 2D dan 3D dengan operasi dot product, cross product, dan proyeksi.

📌 Rumus Penting

det[[a,b],[c,d]] = ad-bc

Invers: A⁻¹ = (1/det A) × adj(A)

Dot product: a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

Cross product: |a×b| = |a||b|sinθ (vektor tegak lurus keduanya)

Proyeksi a pada b: proj = (a·b/|b|²) × b

Volume paralelepiped = |a·(b×c)|

Persamaan bidang: ax+by+cz = d

💡 Contoh

det[[2,1],[3,4]] = 2×4-1×3 = 5

Cramer: sistem Ax=b, xᵢ = det(Aᵢ)/det(A)

a=(3,0), b=(0,4): a·b=0 → tegak lurus

Sudut antara vektor a dan b: cosθ = (a·b)/(|a||b|)

Mulai Latihan Soal