📐

Matematika SMP - OSN

Persiapan Olimpiade Matematika tingkat SMP

🔢 Teori Bilangan & Aritmetika

Teori bilangan adalah fondasi OSN Matematika. Kuasai bilangan prima, faktorisasi, FPB/KPK, kongruensi modular, dan aritmetika bilangan. Teorema Fermat kecil berguna untuk menghitung pangkat besar mod prima.

📌 Rumus Penting

n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1

GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b

Teorema Fermat kecil: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) jika GCD(a,p)=1, p prima

Kongruensi: a ≡ b (mod m) berarti m | (a-b)

Teorema sisa Cina (CRT): sistem kongruensi dapat digabungkan jika modulus saling prima

Jumlah digit: f(n) berulang dalam pola mod 9

💡 Contoh

Bilangan prima sampai 50: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47

7! = 5040, 10! = 3.628.800

17² mod 5: 17≡2(mod5), 17²≡4(mod5)

Faktorisasi 360 = 2³×3²×5. Banyak faktor = (3+1)(2+1)(1+1) = 24

Banyak bilangan prima antara 1-100: ada 25 bilangan prima

📐 Geometri Bidang & Ruang

Teorema Pythagoras, lingkaran, kesebangunan, kekongruenan, dan koordinat Kartesius. Di OSN SMP, soal geometri sering memadukan beberapa konsep sekaligus dan memerlukan konstruksi tambahan.

📌 Rumus Penting

Pythagoras: a² + b² = c² (siku-siku)

Luas segitiga = ½ × alas × tinggi (atau Heron: L = √[s(s-a)(s-b)(s-c)])

Luas trapesium = ½(a+b)h

Luas lingkaran = πr², Keliling = 2πr

Jarak dua titik = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

Titik tengah: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

Teorema Ptolemy: AC·BD = AB·CD + AD·BC (segi empat tali busur)

Teorema sudut keliling: sudut keliling = ½ sudut pusat

💡 Contoh

Triple Pythagoras: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41

Jumlah sudut dalam n-gon = (n-2)×180°

Sudut luar segitiga = jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan

Segitiga siku-siku 30-60-90: sisi 1:√3:2

Segitiga siku-siku 45-45-90: sisi 1:1:√2

📊 Aljabar & Fungsi

Persamaan dan pertidaksamaan linear, sistem persamaan linear dua variabel, persamaan kuadrat, dan fungsi. Kemampuan manipulasi aljabar yang cepat dan akurat sangat penting di OSN.

📌 Rumus Penting

Diskriminan: D = b²-4ac

Rumus abc: x = (-b ± √D)/(2a)

Vieta: x₁+x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a, x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²-2x₁x₂

Identitas: (a+b)² = a²+2ab+b², (a-b)² = a²-2ab+b², (a+b)(a-b) = a²-b²

Gradien garis: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Persamaan garis: y-y₁ = m(x-x₁)

💡 Contoh

x²-5x+6=0 → (x-2)(x-3)=0 → x=2 atau x=3

Sistem: 2x+y=8 dan x-y=1 → tambahkan: 3x=9 → x=3, y=2

Fungsi f(x)=2x+1: f(3)=7, invers f⁻¹(x)=(x-1)/2

|2x-3|<5 → -5<2x-3<5 → -1<x<4

🎲 Kombinatorika & Peluang

Prinsip dasar menghitung (rule of product/sum), permutasi, kombinasi, dan peluang. Di OSN, soal kombinatorika memerlukan identifikasi apakah urutan penting atau tidak.

📌 Rumus Penting

Kaidah perkalian: n₁ × n₂ × n₃ × ... (pilihan berurutan)

Kaidah penjumlahan: n₁ + n₂ (pilihan saling eksklusif)

Permutasi: P(n,r) = n!/(n-r)!

Kombinasi: C(n,r) = n!/[r!(n-r)!]

Peluang: P(A) = n(A)/n(S)

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

💡 Contoh

P(5,3) = 5×4×3 = 60 (ada urutan)

C(5,3) = C(5,2) = 10 (tidak ada urutan)

P(genap dari lemparan dadu) = 3/6 = 1/2

5 orang duduk melingkar: (5-1)! = 24 cara

Anagram kata MATEMATIKA: 10!/(2!×2!×2!) = 453.600

📏 Barisan, Deret & Pertidaksamaan

Barisan aritmetika dan geometri adalah topik yang sering diujikan. Kuasai rumus suku ke-n, jumlah suku, dan penerapannya. Pertidaksamaan juga sering dikombinasikan dengan nilai mutlak.

📌 Rumus Penting

Barisan aritmetika: Uₙ = a + (n-1)b | Sₙ = n/2(2a+(n-1)b)

Barisan geometri: Uₙ = a×rⁿ⁻¹ | Sₙ = a(rⁿ-1)/(r-1)

Deret geometri tak hingga (|r|<1): S∞ = a/(1-r)

AM ≥ GM: (a+b)/2 ≥ √(ab) untuk a,b > 0

💡 Contoh

Barisan: 3, 7, 11, 15,... (a=3, b=4). U₁₀ = 3+9×4 = 39. S₁₀ = 5(6+36) = 210

Barisan geometri: 2, 6, 18,... (a=2, r=3). U₆ = 2×3⁵ = 486

Deret geometri tak hingga: 4, 2, 1,... S∞ = 4/(1-½) = 8

AM-GM: jika x+y=10, nilai maksimum xy = 25 (saat x=y=5)

Mulai Latihan Soal